Пьер де Ферма и его теорема
"Формула аⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет не дробных решений для n > 2", – это и есть формулировка одной из самых знаменитых математических теорем, более известной как Великая теорема Ферма (нередко ее же называют Последней теоремой Ферма). Француз Пьер Ферма сформулировал ее в 1637 году, за прошедшее время теорема получила широкую популярность не только среди ученых, но и в массовой культуре.
Но обо всем по порядку. О жизни Пьера Ферма известно не очень много. Он родился 17 августа 1601 года в небольшом городе Бомон–де–Ломань в семье зажиточного торговца, второго городского консула Доминика Ферма и Клер де Лонг, которая происходила из семьи юристов. Своим детям, а их в семье было четверо – два мальчика и две девочки, любящий отец Доминик дал хорошее образование. Пьер закончил колледж в родном городе, а затем обучался в Тулузе, Бордо и Орлеане, где получил степень бакалавра. Истинной страстью Пьера Ферма всю жизнь оставалась математика, но в силу разных обстоятельств ученые в то время не могли полностью посвятить себя любимой науке, и в качестве профессии будущий создатель Великой теоремы избрал юриспруденцию.
В 1630 году Пьер Ферма поселяется в Тулузе, где занимает пост советника парламента, то есть высшего суда. В том же году он женится на дальней родственнице своей матери Луизе де Лонг. Современники отмечали его честность и аккуратность, он "славился как один из лучших юристов своего времени", что позволило ему в 1648 году стать членом Палаты эдиктов в городе Кастр и добавить к своему имени частицу де – признак знатности.
Помимо выдающихся заслуг в качестве юриста Пьер Ферма был известен и как полиглот и знаток античности – еще в колледже он овладел несколькими иностранными языками, впоследствии писал стихи на французском, латинском и испанском, а также консультировал издателей трудов древних греков.
И все же широкую известность Пьер Ферма получил как ученый. Занимался он математикой не по долгу службы, а просто потому, что любил ее. Интересны ему были ее закономерности и загадки. Признанным является его вклад в развитие аналитической геометрии и математического анализа.
Одной из первых математических работ Пьера Ферма стала попытка восстановления по сохранившимся упоминаниям утерянного трактата древнегреческого математика Аполлония "Плоские места".
Ферма первым применяет буквенную алгебру к задачам геометрии, вводит в аналитическую геометрию понятие бесконечно малой величины, предлагает методы нахождения экстремумов и проведения касательных к произвольным кривым, метод вычисления площадей, ограниченных любыми "параболами" и любыми "гиперболами", показывает, что площадь неограниченной фигуры может быть конечной. Он первым занялся проблемой вычисления длины дуг кривых (задача спрямления кривых) и свел эту задачу к вычислению площадей.
По некоторым данным, Пьер Ферма видел взаимно обратную связь между методами определения площадей и нахождения касательных, и был в одном шаге от понятия "интеграл", однако не стал это направление развивать. Уже после смерти Ферма "задачи на площади" и "задачи на касательные" связали Ньютон и Лейбниц, которым и принадлежит право являться основоположниками дифференциального и интегрального исчислений. Ньютон признавался, что работы Ферма имели для него большое значение и подтолкнули к изысканиям в этом направлении.
В то время еще не было регулярно выходивших научных журналов, поэтому большое значение в распространении и обсуждении научных идей имела личная переписка ученых. Ферма вел обширную переписку с Декартом, отцом и сыном Паскалями, Гюйгенсом, Торричелли, де Бесси, Валлисом – величайшими математиками того времени, - либо непосредственно, либо через Марена Мерсенна – богослова и математика, своего рода координатора научной мысли, который занимался размножением писем и рукописей среди ученых, интересовавшихся близкими к обсуждаемым вопросами. В настоящее время Мерсенн известен в основном как исследователь чисел вида 2n – 1 ("чисел Мерсенна"), играющих важную роль в теории чисел и криптографии.
Ферма закончил несколько научных трактатов, однако ни один из них не был опубликован при его жизни. Тем не менее они стали известны в рукописях в кругу математиков. В частности, в 1636 году Ферма закончил работу "Введение к теории плоских и пространственных мест", где впервые были классифицированы кривые в зависимости от порядка уравнения.
Сегодня даже школьникам, изучающим начала математического анализа, известно, что производная функции в точке экстремума, максимума или минимума, равна нулю. И хотя понятия "производная" тогда еще не существовало, именно об этом говорит лемма Ферма.
Работа "Метод отыскания максимумов и минимумов", переданная Мерсенну в 1636 году, была раскритикована Декартом. Ферма же, вступив в полемику, отвечал своему оппоненту спокойно и сдержанно, хотя и не без иронии, более подробно объясняя суть своего метода, что характеризует его как человека и ученого.
Пьер Ферма стоял у истоков области математики, называемой сейчас теорией вероятностей. В переписке Ферма с Блезом Паскалем было определено понятие математического ожидания, сформулированы теоремы сложения и умножения вероятностей. Результаты этих обсуждений приведены в работе Христиана Гюйгенса "О расчётах в азартной игре" (1657 г.).
Однако главной заслугой Ферма по праву считается создание теории чисел. Ни его современники, ни математики более позднего времени вплоть до Леонарда Эйлера, жившего в XVIII веке, не понимали значения поднятых им проблем.
Изучением свойств целых чисел Пьер Ферма занялся в 40–ые годы. 18 октября 1640 года в письме к французскому математику Бернару Френиклю Пьер Ферма сформулировал следующую теорему: если число a не делится на простое число p, то (аp-1—1) делится на р. Утверждение это, получившее название Малой теоремы Ферма, было оставлено Ферма без доказательства. Позднее она была доказана и обобщена Леонардом Эйлером, швейцарским, немецким и русским математиком. Здесь стоит отметить, что ученый любил не только создавать новые теоремы, но и поддразнивать своих современников, предлагая им найти доказательства.
Из всего наследия античности да нас дошли две книги, посвященные вопросам теории чисел – "Начала" Евклида и "Арифметика" Диофанта. Вторая книга долгое время была неизвестна, лишь в XVI веке она была обнаружена в библиотеке Ватикана, причем не полностью. Она была посвящена решению неопределенных уравнений в рациональных числах. Теорем, в нашем понимании слова, книга не содержала.
Именно эта книга, изданная во Франции в начале XVII века, стала настольной книгой Ферма. Именно на ее полях в 1637 году Пьер Ферма сделал те самые знаменитые заметки, которые стали Великой теоремой его имени: напротив задачи древнегреческого математика: "Разделить квадратное число на два других квадратных числа", Ферма написал: "Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки".
Именно с этой заметки начинается удивительная судьба самой популярной и трудно доказуемой теоремы в мире. Удивительна она хотя бы потому, что теорема без доказательства является гипотезой, однако к этому времени за Ферма уже закрепилась слава человека, который никогда не ошибается. К тому же он оставил доказательство теоремы для четвертых степеней, применив "метод неопределенного или бесконечного спуска", с помощью которого в 1770 году теорему для случая n = 3 доказал Леонард Эйлер. Спустя полвека немецкий математик Иоганн Дирихле совместно с французом Адриеном Мари Лежандром доказал Великую теорему для частного случая n = 5, а в 1839 году Габриэль Ламе – для n = 7. В конце 30–х – начале 40–х годов XVIII века немецкий математик Эрнст Эдуард Куммер нашел доказательство для всех простых чисел n меньше 100.
Многочисленные исследования математиков привели к построению новых теорий в арифметике алгебраических чисел. А популярность теоремы привела к тому, что доказательство ее пытались искать не только ученые, но и дилетанты. И тех, и других стали называть "ферматистами".
В 1908 году математик–любитель Пауль Вольфскель объявил о награде в 100 тысяч немецких марок первому человеку, кто в течение 100 лет докажет Великую теорему Ферма. После Первой мировой войны завещанная сумма обесценилась, впрочем, к этому времени профессиональные математики отказывались тратить свое время на поиск доказательства, так как считали это делом безнадежным, однако среди любителей это стало в некотором роде модой. В 1972 году журнал "Квант" даже предупредил своих читателей, что "письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут", а немецкий ученый Эдмунд Ландау поручил своим аспирантам находить ошибки в присланных ему работах "ферматистов" и отсылать их авторам письмо следующего содержания: "Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. … в строке …"
И все–таки полное доказательство было найдено! Дал его в 1995 году, спустя три с половиной века после того, как теорема была сформулирована, английский и американский математик Эндрю Джон Уайлс. Впервые Уайлс узнал о существовании теоремы Ферма в десятилетнем возрасте. После того, как первая попытка найти доказательство провалилась, он переключился на изучение трудов ученых–"ферматистов", изучал математику и вернулся к теореме спустя годы. Семь лет упорной работы в обстановке абсолютной секретности принесли свои плоды - в 1993 году он впервые представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма. Однако доказательство требовало серьёзной проверки, в результате которой была обнаружена грубая ошибка, хотя эксперты сошлись во мнении, что в целом решение верно. Уайлс, который с детства считал поиск доказательства Великой теоремы Ферма делом своей жизни, призвал на помощь специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже год спустя они опубликовали исправленное и дополненное доказательство. Решение общим объемом в 130 страниц было опубликовано в журнале Annals of Mathematics в мае 1995 года. А в 1997 году Уайлс получил 50 тысяч долларов в качестве премии Вольфскеля. С этих пор Великая теорема Ферма официально считается доказанной.
Между тем, сам Пьер Ферма не оставил никакого наследия. Долгие годы он работал над собранием сочинений, однако напряженная работа в суде, видимо, помешала ему осуществить задуманное. В 1679 году первое собрание трудов Ферма выпустил и опубликовал старший сын ученого Самюэль.
Умер Пьер Ферма 12 января 1665 года во время выездной сессии суда в городе Кастр, через 10 лет прах его был перенесен в семейную усыпальницу Ферма в Тулузе.
Ирина Кравцова. TVC.RU